سلوك التقارب العددي و تحليل الخطأ للنموذج المعمم لتعلم مشكلة باستخدام خوارزميتي أولر و أولر– شبه المنحرف وفق Matlab و Maple

Abstract

عندما نصادف مشكلة ما و نريد حلها فينبغي أن نجمع المعلومات الضرورية المتعلقة بها. في هذه المقالة، قدمنا النموذج الرياضي المعمم لتعلم مشكلة. درسنا سلوك الخطأ و التقارب لطريقتين عدديتين هما خوارزمية أولر و خوارزمية أولر – شبه المنحرف بتطبيقهما على النموذج الرياضي الناتج. لتوضيح سلوك الحل و الخطأ طبقنا هاتين الخوارزميتين على النموذج المعمم باستخدام Maple و Matlab. طورنا برمجيات لتنفيذ الخوارزميتين المدروستين لحل النموذج المعمم. وجدنا عدديا أن القيمة المثلى لطول الخطوة هي و أن الخطأ المطلق الموافق يساوي الصفر. أجرينا تجارب محاكاة عديدة لطرائق عددية مختلفة. كانت أفضل هذه الطرائق rk2 , rk 23 , rk4 , rk45 , Embedded rk , Modified Euler (حيث rk هي اختصارا من Runge-Kutta). تبين من التجارب العددية أن القيمة المثلى لطول الخطوة هي أيضا  إلا أن أداء طريقة أولر و أولر – شبه المنحرف هو عموما الأفضل في جميع التنفيذات و من أجل خيارات مختلفة. أخيرا، أجرينا تعديلا على خوارزمية أولر – شبه المنحرف يتفادى حل مسألة غير خطية في كل خطوة باستخدام Maple.

When we face a problem and want to solve it, we must collect the required information related to it. In this paper, we introduced generalized model of learning of problem. We studied error behavior and the convergence of the Euler's and Euler-Trapezoid's algorithms by applying them to the model obtained by using Maple and Matlab. We developed software for implementing the considered methods when solving the model obtained. Numerically, we found that the optimal value of step size was and the corresponding absolute error was zero. We carried out more numerical different methods. The best methods were rk2, rk23, rk4, rk45, embedded rk, Modified Euler, but the performance of considered methods was the best. Finally, we made modification to Euler-Trapezoid method that avoids the solution of non-linear problem by Maple.